Question

【題目】我國古代數學家趙爽曾用圖1證明了勾股定理，這個圖形被稱為“弦圖”.2002年在北京召開的國際數學家大會(ICM 2002)的會標(圖2)，其圖案正是由“弦圖”演變而來.“弦圖”是由4個全等的直角三角形與一個小正方形組成，恰好拼成一個大正方形請你根據圖1解答下列問題:

(1)敘述勾股定理(用文字及符號語言敘述);

(2)證明勾股定理;

(3)若大正方形的面積是,小正方形的面積是,求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析；（3）25.

【解析】

（1）直接敘述勾股定理的內容，并用字母表明三邊關系；

（2）利用大正方形面積、小正方形面積和4個直角三角形的面積和之間的關系列式整理即可證明；

（3）將原式利用完全平方公式展開，由勾股定理的內容可得出為大正方形面積和4個直角三角形的面積和，根據已知條件即可求得.

解：（1）勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．

在直角三角形中，兩條直角邊分別為 a、b，斜邊為 c，a2+b2= c2．

（2）∵ S大正方形=c2，S小正方形=(b-a)2，4 SRt△=4×ab=2ab，

∴ c2=2ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2，

即 a2+b2= c2．

（3）∵ 4 SRt△= S大正方形- S小正方形=13-1=12,

∴ 2ab=12.

∴ (a+b)2= a2+b2+2ab=c2+2ab=13+12=25.