Question

二次函數圖象的頂點在原點O，經過點A（1，）；點F（0，1）在y軸上．直線y=﹣1與y軸交于點H．

（1）求二次函數的解析式；

（2）點P是（1）中圖象上的點，過點P作x軸的垂線與直線y=﹣1交于點M，求證：FM平分∠OFP；

（3）當△FPM是等邊三角形時，求P點的坐標．

Answer 1

（1）解：∵二次函數圖象的頂點在原點O，

∴設二次函數的解析式為y=ax²，

將點A（1，）代入y=ax²得：a=，

∴二次函數的解析式為y=x²；

（2）證明：∵點P在拋物線y=x²上，

∴可設點P的坐標為（x， x²），

過點P作PB⊥y軸于點B，則BF=x²﹣1，PB=x，

∴Rt△BPF中，

PF==x²+1，

∵PM⊥直線y=﹣1，

∴PM=x²+1，

∴PF=PM，

∴∠PFM=∠PMF，

又∵PM∥x軸，

∴∠MFH=∠PMF，

∴∠PFM=∠MFH，

∴FM平分∠OFP；

（3）解：當△FPM是等邊三角形時，∠PMF=60°，

∴∠FMH=30°，

在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，

∵PF=PM=FM，

∴x²+1=4，

解得：x=±2，

∴x²=×12=3，

∴滿足條件的點P的坐標為（2，3）或（﹣2，3）．