Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA=2，OC=3．

(1)求拋物線的解析式．

(2)若點(diǎn)D(2，2)是拋物線上一點(diǎn)，那么在拋物線的對稱軸上，是否存在一點(diǎn)P，使得△BDP的周長最小，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

注：二次函數(shù)（≠0）的對稱軸是直線=.

Answer 1

【答案】（1）（2）P（，）

【解析】

解：（1）∵OA=2，OC=3，

∴A（－2，0），C（0，3）．

將C（0，3）代入得c=3．

將A（－2，0）代入得，，

解得b=，

∴拋物線的解析式為；

（2）如圖：連接AD，與對稱軸相交于P，

由于點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于對稱軸對稱，則BP+DP=AP+DP，當(dāng)A、P、D共線時(shí)BP+DP=AP+DP最小．

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，

將A（-2，0），D（2，2）分別代入解析式得， ，解得，，

∴直線AD解析式為y=x+1．

∵二次函數(shù)的對稱軸為，

∴當(dāng)x=時(shí)，y=×+1=．

∴P（，）．