Question

【題目】如圖1，矩形ABCD，AB=6cm，AD=8cm，點O從點B出發，以1cm/s的速度向點C運動，設O點運動時間為t（單位：s）（0<t<4），以點O為圓心，OB為半徑作半圓⊙O交BC 于點M，過點A作⊙O的切線交BC于點N，切點為P.

（1）如圖2，當點N與點C重合時，求t；

（2）如圖3，連接AO，作OQAO交AN于點Q，連接QM，求證：QM是⊙O的切線；

（3）如圖4，連接CP，在點O整個運動過程中，求CP的最小值.

Answer 1

【答案】（1）3 ；（2）見解析；（3）4.

【解析】

（1）連接OP,根據切線的性質與矩形的性質得到△ABC∽△OPC，故,根據勾股定理求出AC，代入即可求出OP,即得到OB的長進行求解.

（2）連接OP，證明△OPQ≌△OMQ，得到∠OMQ＝∠OPQ＝90°，故可證明；

（3）由（2）可知當CP⊥OQ時CP最短，再根據圖2利用勾股定理即可求出PC的長.

（1）連接OP,

∵AC是⊙O的切線，∴∠OPC=90°，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC=90°，

又∠ACB=∠OCP

∴△ABC∽△OPC，

故,

∵AB=6cm，AD=8cm，

∴AC=

又OP=OB

∴

解得OB=3,

∵點O從點B出發，以1cm/s的速度向點C運動，

∴t=3；

（2）連接OP，

∵BO=OP，∴AO平分∠BAC，

∴∠BAO=∠PAO

∵∠ABC=∠APO=90°，

∴∠AOB=∠AOP

∵AO⊥OQ,

∴∠AOQ=90°，

∴∠AOB+∠QOM=90°, ∠AOP+∠QOP=90°,

故∠QOM=∠QOP

又OP=OM,OQ=OQ

∴△OPQ≌△OMQ

∴∠OMQ＝∠OPQ＝90°，

故QM是⊙O的切線；

（3）由（2）可知當CP⊥OQ時CP最短，

如圖2，由（1）可得OC=8-3=5,OP=3，

故CP=

則CP的最小值為4.