Question

如圖，AD是△ABC的角平分線，延長AD交△ABC的外接圓O于點E，過C、D、E三點的圓O₁交AC的延長線于點F，連接EF、DF．
（1）求證：△AEF∽△FED；
（2）若AD=6，DE=3，求EF的長；
（3）若DF∥BE，試判斷△ABE的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過證兩組對應角相等來證兩三角形相似．
（2）根據（1）中得出的相似三角形即可得出AE，DE，EF這三條線段的比例關系，有了AD，DE的長，即可求出EF的值．
（3）可通過證角的關系來得出三角形的形狀．
解答：（1）證明：連接兩圓的相交弦CE，
在圓O₁中，∠EFD=∠DCE，
在圓O中，∠BAE=∠DCE，
∴∠EFD=∠BAE．
∵AE是∠BAC角平分線，
∴∠BAE=∠CAE．
∴∠CAE=∠EFD．
∵∠AEF=∠FED，
∴△AEF∽△FED．

（2）解：∵△AEF∽△FED，
∴．
∴EF²=AE•DE=（AD+DE）•DE=（6+3）×3=27，
∴EF=3．

（3）解：△ABE為等腰三角形．理由如下：
∵ABCE是圓內接四邊形，
∴∠FCE=∠ABE．
∵DF∥BE，∠FDE=∠AEB，
又∵∠FCE=∠EDF，
∴∠AEB=∠ABE．
∴△ABE為等腰三角形．
點評：本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質等知識點．根據圓周角得出相關的角相等是解題的關鍵．