Question

如圖，AOB是半徑為1的單位圓的四分之一，半圓O₁的圓心O₁在OA上，并與弧AB內切于點A，半圓O₂的圓心O₂在OB上，并與弧AB內切于點B，半圓O₁與半圓O₂相切，設兩半圓的半徑之和為x，面積之和為y．
（1）試建立以x為自變量的函數y的解析式；
（2）求函數y的最小值．

Answer 1

分析：（1）想要建立起以x為自變量的函數y的解析式，則必須要找出中間的等量關系，利用這個等量關系，把y用x表示出來．
（2）根據x的取值范圍，利用二次函數最值的求法即可解出此問．

解答：解：（1）設兩圓半徑分別為R、r，
y=

1

2

π(R2+r2)，
x=r+R，
通過變形把R²和r²用“x=R+r”的代數式表示，作基本輔助線，如圖，半徑分別為r、R的圓1、圓2外切于C，連接O₁O₂．
y=

1

2

π  (R2+ r2)=

1

2

π[(R+r)2-2Rr]，
且有（R+r）²=（1-R）²+（1-r）²，化簡得：r+R+Rr=1，
所以：y=

1

2

π{(R+r)2-2[1-(R+r)] }=

π

2

(x2+2x-2)，
所以建立的以x為自變量的函數y的解析式為：y=

1

2

π{(R+r)2-2[1-(R+r)] }=

π

2

(x2+2x-2)，

（2）∵（

R

-

r

）²≥0，
∴R+r≥2

Rr

，
∴

(R+r)2

4

≥Rr，Rr=1-（R+r），
∴（R+r）²+4（R+r）-4≥0，
又∵R+r≥0，
∴R+r≥2

2

-2，即x≥2

2

-2，
故函數：y=

1

2

π{(R+r)2-2[1-(R+r)] }=

π

2

(x2+2x-2)，
當x=2

2

-2時，有ymin=(3-2

2

)π，
答：函數y的最小值為ymin=(3-2

2

)π．

點評：本題看似考查幾何，實際考查的還是二次函數問題，以及二次函數的最值求法．