Question

已知：關于x的一元二次方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；
（2）設方程的兩個實數根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂）．若y是關于m的函數，且y=x₂-2x₁，求這個函數的解析式；
（3）在（2）的條件下，結合函數的圖象回答：當自變量m的取值范圍滿足什么條件時，y≤2m．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題的突破口在于利用△．化簡得出（m+2）²＞0得出△＞0．
（2）由求根公式得出x的解，由y=x₂-2x₁求出關于m的解析式．
解答：（1）證明：∵mx²-（3m+2）x+2m+2=0是關于x的一元二次方程，
∴△=[-（3m+2）]²-4m（2m+2）=m²+4m+4=（m+2）²．
∵當m＞0時，（m+2）²＞0，即△＞0．
∴方程有兩個不相等的實數根．（2分）

（2）解：由求根公式，得．
∴或x=1．（3分）
∵m＞0，
∴．
∵x₁＜x₂，
∴x₁=1，．（4分）
∴y=x₂-2x₁=-2×1=．
即y=（m＞0）為所求．（5分）

（3）解：在同一平面直角坐標系中分別畫出y=（m＞0）與y=2m（m＞0）的圖象．（6分）

由圖象可得，當m≥1時，y≤2m．（7分）
點評：本題是一道代數綜合題，綜合了一元二次方程、一次函數、用函數的觀點看不等式等知識．