【題目】如圖，
是
內一定點，點
，
分別在邊
，
上運動，若
，
，則
的周長的最小值為___________.
【答案】3
【解析】
如圖，作P關于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．根據對稱的性質可以證得：△COD是等邊三角形，據此即可求解．
如圖，作P關于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．
∵點P關于OA的對稱點為C，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵點P關于OB的對稱點為D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等邊三角形，
∴CD=OC=OD=3．
∴△PMN的周長的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．
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【題目】如圖，∠AOB＝45°，點P是∠AOB內的定點且OP＝
，若點M、N分別是射線OA、OB上異于點O的動點，則△PMN周長的最小值是_____．
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【題目】在平面直角坐標系中，過一點分別作坐標軸的垂線，若與坐標軸圍成矩形的周長的數值與面積的數值相等，則這個點叫做和諧點．例如，圖中過點
分別作
軸，
軸的垂線．與坐標軸圍成矩形
的周長的數值與面積的數值相等，則點是和諧點．
（1）判斷點
，
是否為和諧點，并說明理由；
（2）若和諧點
在直線
（
為常數）上，求
的值．
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【題目】如圖，雙曲線y=
（x＞0）經過△OAB的頂點A和OB的中點C，AB∥x軸，點A的坐標為（2，3），BE⊥x軸，垂足為E．
（1）確定k的值；
（2）若點D（3，m）在雙曲線上，求直線AD的解析式；
（3）計算△OAB的面積．
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【題目】已知
為等邊三角形，
為直線
上一動點（點不與點
、點
重合）以
為邊作等邊三角形
，連接
.
（1）如圖①，當點在邊上時，且點
、點
在同側，其他條件不變，求證：
；
（2）如圖②，當點在邊的延長線上時，且點、點在同側，其他條件不變，請直接寫出線段，
，之間存在的數量關系，不需證明；
（3）如圖③，當點在邊
的延長線上時，且點、點分別在直線的異側，其他條件不變，請直接寫出線段，，之間存在的數量關系，不需證明.
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【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，
，
，
，點
的坐標為
，且
.
（1）求點
的坐標；
（2）求證
；
（3）在
軸上找一點
，使
是以
為腰的等腰三角形，請直接寫出點的坐標.
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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，
是坐標原點，點
的坐標為
，點
的坐標
，點
是直線
上位于第二象限內的一個動點，過點作
軸于點
，記點關于
軸的對稱點為點
．
（1）求直線的解析式；
（2）若
，求點的坐標．
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【題目】小明為了檢驗兩枚六個面分別刻有點數1、 2、3、4、5、6的正六面體骰子的質量是否都合格，在相同的條件下，同時拋兩枚骰子20 00 0次，結果發現兩個朝上面的點數和是7的次數為20次．你認為這兩枚骰子質量是否都合格(合格標準為：在相同條件下拋骰子時，骰子各個面朝上的機會相等)？并說明理由．
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