Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣4）．

（1）求該二次函數(shù)的解析；

（2）若點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿AB、AC邊運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．

①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，在x軸上是否存在點(diǎn)E，使得以A、E、Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出E點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

②當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，△APQ沿PQ翻折，點(diǎn)A恰好落在拋物線上D點(diǎn)處，請(qǐng)直接寫出t的值及D點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①存在滿足條件的點(diǎn)E，點(diǎn)E的坐標(biāo)為或或（﹣1，0）或（7，0）；②，

【解析】

試題分析：（1）將A，B，C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)中，求得b、c，進(jìn)而可求解析式；

（2）等腰三角形有三種情況，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分線，畫圓易得E大致位置，設(shè)邊長(zhǎng)為x，表示其他邊后利用勾股定理易得E坐標(biāo)；

（3）注意到P，Q運(yùn)動(dòng)速度相同，則△APQ運(yùn)動(dòng)時(shí)都為等腰三角形，又由A、D對(duì)稱，則AP=DP，AQ=DQ，易得四邊形四邊都相等，即菱形．利用菱形對(duì)邊平行且相等等性質(zhì)可用t表示D點(diǎn)坐標(biāo)，又D在E函數(shù)上，所以代入即可求t，進(jìn)而D可表示．

試題解析：（1）∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4）．

∴，解得 ，；

①存在．如圖1，過(guò)點(diǎn)Q作于D，此時(shí)，∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0），∵當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)，

Ⅰ、作AQ的垂直平分線，交AO于E，此時(shí)AE=EQ，即△AEQ為等腰三角形，設(shè)則 在中，解得

說(shuō)明點(diǎn)E在軸的負(fù)半軸上；Ⅱ、以Q為圓心，AQ長(zhǎng)半徑畫圓，交軸于E，此時(shí)1.Ⅲ、當(dāng)時(shí)，2.當(dāng)E在A點(diǎn)左邊時(shí)，2．當(dāng)E在A點(diǎn)右邊時(shí)，綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)E，點(diǎn)E的坐標(biāo)為或或（﹣1，0）或（7，0）．

②如圖2，D點(diǎn)關(guān)于PQ與A點(diǎn)對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)Q作，于F，

∴四邊形AQDP為菱形，

∵D在二次函數(shù)

上，或（與A重合，舍去），