Question

25、如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線EF交BC于D，交AB于E，且CF=BE．
（1）求證：四邊形BECF是菱形；
（2）當∠A的大小滿足什么條件時，菱形BECF是正方形？回答并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據中垂線的性質：中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等，有BE=EC，BF=FC，∵CF=BE，BE=EC=BF=FC，∴四邊形BECF是菱形；
（2）由菱形的性質知，對角線平分一組對角，即當∠ABC=45°時，∠EBF=90°，有菱形為正方形，根據直角三角形中兩個角銳角互余得，∠A=45度．

解答：證明：（1）證法一：如圖
∵EF垂直平分BC，∴BE=EC，BF=CF，
∵CF=BE，∴BE=EC=CF=BF，
∴四邊形BECF是菱形；

證法二：如圖
∵EF垂直平分BC，∴BD=DC，EF⊥BC
∵BE=CF，∴△BED≌△CFD，
∴DE=DF
∴四邊形BECF是菱形；

（2）解法一
當∠A=45°時，菱形BECF是正方形．
∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠EBC=45°
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°
∴菱形BECF是正方形．

解法二：
當∠A=45°時，菱形BECF是正方形．
∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠EBC=45°，
∵BE=EC，∴∠ECB=∠EBC=45°∴∠BEC=90°，
∴菱形BECF是正方形．

點評：本題利用了：菱形的判定和性質及中垂線的性質、直角三角形的性質．