Question

已知關于x的方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0．
（1）求證：方程恒有兩個不相等的實數根；
（2）若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根，并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據關于x的方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0的根的判別式的符號來證明結論；
（2）根據一元二次方程的解的定義求得m值，然后由根與系數的關系求得方程的另一根．分類討論：①當該直角三角形的兩直角邊是2、3時，由勾股定理得斜邊的長度為：；②當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是2、3時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為；再根據三角形的周長公式進行計算．
解答：（1）證明：∵△=（m+2）²-4（2m-1）=（m-2）²+4，
∴在實數范圍內，m無論取何值，（m-2）²+4＞0，即△＞0，
∴關于x的方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0恒有兩個不相等的實數根；

（2）解：根據題意，得
1²-1×（m+2）+（2m-1）=0，
解得，m=2，
則方程的另一根為：m+2-1=2+1=3；
①當該直角三角形的兩直角邊是1、3時，由勾股定理得斜邊的長度為：；
該直角三角形的周長為1+3+=4+；
②當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為2；則該直角三角形的周長為1+3+2=4+2．
點評：本題綜合考查了勾股定理、根的判別式、一元二次方程解的定義．解答（2）時，采用了“分類討論”的數學思想．