Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3．點D是BC邊上的一動點（不與點B、C重合），過點D作DE⊥BC交AB于點E，將∠B沿直線DE翻折，點B落在射線BC上的點F處．當△AEF為直角三角形時，BD的長為    ．

Answer 1

【答案】分析：首先由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，即可求得AC的長、∠AEF與∠BAC的度數(shù)，然后分別從從∠AFE=90°與∠EAF=90°去分析求解，又由折疊的性質(zhì)與三角函數(shù)的知識，即可求得CF的長，繼而求得答案．
解答：解：根據(jù)題意得：∠EFB=∠B=30°，DF=BD，EF=EB，
∵DE⊥BC，
∴∠FED=90°-∠EFD=60°，∠BEF=2∠FED=120°，
∴∠AEF=180°-∠BEF=60°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，
∴AC=BC•tan∠B=3×=，∠BAC=60°，
如圖①若∠AFE=90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠EFD+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠FAC=∠EFD=30°，
∴CF=AC•tan∠FAC=×=1，
∴BD=DF==1；
如圖②若∠EAF=90°，
則∠FAC=90°-∠BAC=30°，
∴CF=AC•tan∠FAC=×=1，
∴BD=DF==2，
∴△AEF為直角三角形時，BD的長為：1或2．
點評：此題考查了直角三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)問題．此題難度適中，注意數(shù)形結合思想與分類討論思想的應用．