Question

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，M在BA延長線上，N在AB上，且∠MCN=45°，AM=2，BN=3，則MN=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據△ABC為等腰直角三角形的特點，解：過C點作CD⊥BM，設AN=x，則AB=AN+BN=3+x，在△CDN中，由勾股定理表CN²=CD²+ND²，由△NAC∽△NCM，利用相似比得CN²=MN•AN，兩式結合求x即可．
解答：解：過C點作CD⊥BM，垂足為D，
設AN=x，則AB=AN+BN=3+x，
又∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴AD=BD=CD=AB=，ND=AD-AN=，
由勾股定理，得CN²=CD²+ND²，①
∵∠NAC=MCN=45°，∠ANC=∠CNM，
∴△NAC∽△NCM，
∴=，即CN²=MN•AN=（2+x）x，②
由①②得：（）²+（）²=（2+x）x，
解得x=-2，
MN=AM+AN=2+x=．
故答案為：．
點評：本題考查了特殊三角形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理的運用．關鍵是通過設AN=x，由已知條件表示其它的線段，利用勾股定理及相似求解．