Question

如圖，直線：分別與軸、軸交于A、B兩點，點C線段AB上，作CD⊥x軸于D, CD=2OD, 點E線段OB上,且AE=BE；

（1）填空：點C的坐標為（ ， ）；點E的坐標為（ ， ）；

（2）直線過點E，且將△AOB分成面積比為1：2的兩部分，求直線的表達式；

（3）點P在x軸上運動，

①當PC+PE取最小值時，求點P的坐標及PC+PE的最小值；

②當PC-PE取最大值時，求點P的坐標及PC-PE的最大值；

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）根據求出點A,B的坐標，A（4,0）,B（0,8），所以OA=4，OB=8，設OD=m，則CD=2OD=2m，因為 CD⊥x軸，所以點C的坐標是（m，2m）代入可求出點C的坐標，設OE=X,則AE=BE=8-x，在△OAE中，根據勾股定理可求出x的值，從而可得點E的坐標；（2）設直線m的表達式為，然后分情況討論（3）①求出點E關于X軸的對稱點E′坐標，然后求直線C E′與x軸的交點，即為點P;②直線CE與與x軸的交點即為點P.

試題解析：（1）點C（ 2 ， 4 ）；點E（ 0 ， 3 ）；

（2）設直線m的表達式為

①如圖：當時，

得FH=,將代入得

將點F（，）代入得，

所以直線m的表達式為

②如圖：當時，,

得ON=,將點N（，）代入得，

所以直線m的表達式為

（3）①如圖：E關于X軸的對稱點E′坐標為（0，-3），

設直線CE′的表達式為代入C（2,4）得;,所以

將代入得

所以P的坐標為

作E′Q⊥CD于Q,則CQ=OD=2，CQ=7

所以PC+PE的最小值= CE′==

②如圖：設直線CE的表達式為，與x軸相交為p,

代入C（2，4），得，

所以，當時，；點P坐標為（-6，0），

作CR⊥y軸于R,則CR=OD=2，ER=1，

所以PC-PE的最大值= CE==

考點：1.一次函數與坐標軸的交點；2.求一次函數解析式；3.勾股定理；4.軸對稱-最短距離.