Question

（2012•奉賢區二模）已知：直角坐標平面內有點A（-1，2），過原點O的直線l⊥OA，且與過點A、O的拋物線相交于第一象限的B點，若OB=2OA．
（1）求拋物線的解析式；
（2）作BC⊥x軸于點C，設有直線x=m（m＞0）交直線l于P，交拋物線于點Q，若B、C、P、Q組成的四邊形是平行四邊形，求m的值．

Answer 1

分析：（1）過點A作AH⊥x軸于點H，過點B作BC⊥x軸于點C，根據點A的坐標可得出AH及OH的長度，再由△AHO∽△OCB及OB=2OA可求出點B的坐標，利用待定系數法可求出函數解析式．
（2）先求出直線l的解析式，然后根據B、C、P、Q組成的四邊形是平行四邊形，結合題意可得PQ=BC，建立方程求解即可得出m的值．

解答：解：（1）過點A作AH⊥x軸于點H，過點B作BC⊥x軸于點C，
由點A坐標為（-1，2）可得AH=2，OH=1，
由直線OB⊥OA，可得△AHO∽△OCB，
故有：

AH

OC

=

OH

BC

=

OA

OB

，
∵OB=2OA，
∴OC=4，BC=2，
∴B（4，2），
設經過點A、O、B的拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
則

a-b+c=2 16a+4b+c=2 c=0

，
解得

a= 1 2 b=- 3 2 c=0

，
故拋物線解析式為：y=

1

2

x2-

3

2

x．

（2）設直線l的解析式為y=kx（k≠0），
∵直線l經過點B（4，2），
∴直線l的解析式為y=

1

2

x，
∵直線x=m（m＞0）交直線l于P，交拋物線于點Q，
∴設P點坐標為(m，

1

2

m)，點Q坐標為(m，

1

2

m2-

3

2

m)，
∵由B、C、P、Q四點組成的四邊形是平行四邊形，
∴PQ∥BC且PQ=BC，
即：|

1

2

m-(

1

2

m2-

3

2

m)|=2，
解得m=2±2

2

或m=2，
∵m＞0，
∴m=2

2

+2或2．

點評：此題考查了二次函數的綜合題，涉及了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的判定及解方程的知識，解答此類大綜合題關鍵是能夠將所學的知識融會貫通．