Question

【題目】在一元二次方程中，有著名的韋達定理：對于一元二次方程，如果方程有兩個實數根，那么（說明：定理成立的條件）。比如方程中，，所以該方程有兩個不等的實數根，記方程的兩根為，，那么+=， =,請根據閱讀材料解答下列各題：

（1）已知方程的兩根為、，且 >,求下列各式的值:

① ②

（2）已知是一元二次方程的兩個實數根．

①是否存在實數，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

②求使的值為整數的實數的整數值．

Answer 1

【答案】（1）①13②-（2）①不存在②-2,-3或-5

【解析】

（1）根據根與系數的關系求出+，的值，把①配方，把②通分，然后把+，的值代入計算即可；

（2）根據方程有兩個實數根，求出+，的值，及的取值范圍，①把所給式子化簡后代入，把+，的值代入，即可求出的值；②通分后，把+，的值代入，討論即可.

（1）∵方程的兩根為、，且 >，

∴=3 ， =-2 ，

∴==9+4=13，

= ，

（2）∵是一元二次方程的兩個實數根．

∴ ， 即k<0，

=1 , = ，

①設存在這樣的實數k.則

=，

解得 ，

∵k<0 ， ∴不存在這樣的實數k ；

②

=

=- ，

要使-為整數 ， 則 ，

∴k=0,-2,1,-3,-5,3 ，

又∵k<0 ， ∴k=-2,-3或-5.