Question

已知正方形中，繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，它的

兩邊分別交（或它們的延長線）于點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖28①）， 易證

（1）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖28②），線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；

（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖28③所示的位置時(shí)，線段之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想.(9分)

 

Answer 1

【答案】

（1）BM+DN=MN，證明見解析（2）DN-BM=MN，證明見解析

【解析】（1）BM+DN=MN成立．

證明：如圖，把△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，

得到△ABE，則可證得E、B、M三點(diǎn)共線（圖形畫正確）．

∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°，

又∵∠NAM=45°，

∴△AEM≌△ANM，

∴ME=MN，

∵M(jìn)E=BE+BM=DN+BM，

∴DN+BM=MN；

（2）DN-BM=MN．

在線段DN上截取DQ=BM，

易證△AMN≌△AQN，

故MN=QN，

所以DN-BM=MN．

（1）BM+DN=MN成立，證得B、E、M三點(diǎn)共線即可得到△AEM≌△ANM，從而證得ME=MN．

（2）DN-BM=MN．證明方法與（1）類似．