Question

已知點(diǎn)P是拋物線y=

1

4

x2+1上的任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d₁，點(diǎn)P與點(diǎn)F（0，2）的距離為d₂．
（1）請(qǐng)寫出所給拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）猜想d₁、d₂的大小關(guān)系，并證明；
（3）若直線PF交此拋物線于另一點(diǎn)Q，如圖，試判斷以PQ為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據(jù)拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）本題需先根據(jù)已知條件設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，分別得出d₁和d₂的平方的值，即可得出d₁、d₂的大小關(guān)系．
（3）本題需先設(shè)出P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)已知條件解出所求的值，即可得出PQ為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系即可．

解答：解：（1）∵拋物線的解析式為：y=

1

4

x2+1
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是：（0，1）

（2）設(shè)P（m，

m2

4

+1）
則d₁²=（

m2

4

+1）²=

m4

16

+

m2

2

+1
d₂²=m²+（

m2

4

+1-2)2=

m4

16

+

m2

2

+1
∴d₁²=d₂²
∵d₁＞0，d₂＞0
∴d₁=d₂

（3）取QP中點(diǎn)G，作QN⊥x軸，PM⊥x軸，取MN中點(diǎn)R，連接GR，
同（2）可證得QF=QN，PF=PM，
由梯形中位線：2GR=QN+PM，
則2GR=QF+PF，
即2GR=QP=2r
則以PQ為直徑的圓與x軸相切．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，在解題時(shí)要結(jié)合已知條件設(shè)出所需要的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，這是一道常考題．