Question

如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（4，-1）的拋物線交y軸于A點，交x軸于B，C兩點（點B在點C的左側），已知A點坐標為（0，3）．
（1）求此拋物線的解析式
（2）過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸l與⊙C有怎樣的位置關系，并給出證明；
（3）已知點P是拋物線上的一個動點，且位于A，C兩點之間，問：當點P運動到什么位置時，△PAC的面積最大？并求出此時P點的坐標和△PAC的最大面積．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線的頂點坐標，可用頂點式設拋物線的解析式，然后將A點坐標代入其中，即可求出此二次函數的解析式；
（2）根據拋物線的解析式，易求得對稱軸l的解析式及B、C的坐標，分別求出直線AB、BD、CE的解析式，再求出CE的長，與到拋物線的對稱軸的距離相比較即可；
（3）過P作y軸的平行線，交AC于Q；易求得直線AC的解析式，可設出P點的坐標，進而可表示出P、Q的縱坐標，也就得出了PQ的長；然后根據三角形面積的計算方法，可得出關于△PAC的面積與P點橫坐標的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出△PAC的最大面積及對應的P點坐標．

解答：解：（1）設拋物線為y=a（x-4）²-1，
∵拋物線經過點A（0，3），
∴3=a（0-4）²-1，a=

1

4

；
∴拋物線為y=

1

4

(x-4)2-1=

1

4

x2-2x+3；（3分）

（2）相交．
證明：連接CE，則CE⊥BD，
當

1

4

(x-4)2-1=0時，x₁=2，x₂=6．
A（0，3），B（2，0），C（6，0），
對稱軸x=4，
∴OB=2，AB=

22+32

=

13

，BC=4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴

AB

BC

=

OB

CE

，即

13

4

=

2

CE

，解得CE=

8 13

13

，
∵

8 13

13

＞2，
∴拋物線的對稱軸l與⊙C相交．（7分）

（3）如圖，過點P作平行于y軸的直線交AC于點Q；
可求出AC的解析式為y=-

1

2

x+3；（8分）
設P點的坐標為（m，

1

4

m2-2m+3），
則Q點的坐標為（m，-

1

2

m+3）；
∴PQ=-

1

2

m+3-（

1

4

m²-2m+3）=-

1

4

m²+

3

2

m．
∵S_△PAC=S_△PAQ+S_△PCQ=

1

2

×（-

1

4

m²+

3

2

m）×6
=-

3

4

（m-3）²+

27

4

；
∴當m=3時，△PAC的面積最大為

27

4

；
此時，P點的坐標為（3，-

3

4

）．（10分）

點評：此題考查了二次函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質、直線與圓的位置關系、圖形面積的求法等知識．