Question

如圖①，已知兩個菱形ABCD和EFGH是以坐標原點O為位似中心的位似圖形（菱形ABCD與菱形EFGH的位似比為2：1），∠BAD=120°，對角線均在坐標軸上，拋物線經過AD的中點M。

（1）填空：A點坐標為______，D點坐標為______；
（2）操作：如圖②，固定菱形ABCD，將菱形EFGH繞O點順時針方向旋轉α度角（0°＜α＜90°），并延長OE交AD于P，延長OH交CD于Q，
探究1：在旋轉的過程中是否存在某一角度α，使得四邊形AFEP是平行四邊形？若存在，請推斷出α的值；若不存在，說明理由；
探究2：設AP=x，四邊形OPDQ的面積為s，求s與x之間的函數關系式，并指出x的取值范圍。

Answer 1

解：（1）A（0，2），D（，0）；
（2）探究1：當α=60°時，四邊形AFEP是平行四邊形
理由如下：
∵兩菱形的位似比為2：1，OA=2，OD=，菱形ABCD邊長為4，∠BAO=60°
∴菱形EFGH的邊長EF=AD=2，∠FEO=60°
∵在旋轉過程中EF的長和∠FEO的大小始終不變
∴當射線OE旋轉到經過M點時，P與M重合，AM=AP=2
△AOP為等邊三角形，∠APO=∠AOP=60°
那么，∠APO=∠FEO=60°，則EF∥AP
又∵EF=AM=2
∴當旋轉角度α=∠AOP=60°時，EF平行且等于AP
∴α=60°時，四邊形AFEP為平行四邊形。
探究2：過P點作PR⊥y軸于R，過Q作QT⊥x軸于T，設TQ=y，則：
PR=AP·sin60°=，OR=OA-AR=2-AP·cos60°=2-x
OT=OD-DT=-TQ·tan60°=
∵它繞對稱中心O旋轉時∠POR=∠QOT
∴Rt△POR∽Rt△QOT
∴
∴
化簡得：
∴S==
=
S與x的函數關系式為：S=（0＜x＜4）。