Question

如圖（1），在平面直角坐標系中，Rt△ABC的AC邊與x軸重合，且點A在原點，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=2，又一直徑為2的⊙D與x軸切于點E（1，0）；
（1）若Rt△ABC沿x軸正方向移動，當斜邊AB與⊙D相切時，試寫出此時點A的坐標；
（2）當Rt△ABC的邊BC移動到與y軸重合時，則把Rt△ACB繞原點O按逆時針方向旋轉，使斜邊AB恰好經過點F（0，2），得Rt△A′B′O，AB分別與A′O、A′B′相交于M、N，如圖（2）所示．
①求旋轉角∠AOA′的度數；
②求四邊形FOMN的面積．（結果保留根號）

Answer 1

【答案】分析：（1）分情況考慮：第一次和圓相切時；第二次和圓相切時．應連接圓心和切點，構造三角形求解；
（2）①容易判斷出△A′OF是等邊三角形，那么∠AOA'=30°；
②S_FOMN=S_△FOA-S_△A'MN．
解答：解：（1）
當在左邊相切時，∠OA′G=∠COB=60°，
∴∠DA'G=∠DA'E=60°，
∴A'E=，此時點A坐標為（1-，0），
同理，當在右邊相切時，A''E=，此時點A''的坐標為（1+，0）．
綜上可得A（1-，0）或A（1+，0）；

（2）①∵Rt△ACB旋轉得Rt△A′B′O，
∴Rt△ACB≌Rt△A′B′O．
∴∠A=∠A’=60°AO=A′O．
∵OF=OA=2，
∴△A′OF是等邊三角形．
∴∠A′OF=60°．
∴∠AOA′=30°．

②在△AMO中，∠OAM=60°，∠AOA′=30°，
∴∠AMO=90°，AM=OA=×2=1，ON=，MN=；
∴A′N=A′F-NF=A′O-NO=2-，MN=，A′N=（2-）；
∴S_△A'MN=A′N•MN=（2-）²=-6．
過點F作FG⊥OA′于G，則FG=，
∴S_△FOA′=OA′•FG=×2×=；
∴S_FOMN=S_△FOA-S_△A'MN=-（-6）=6-．
∴四邊形FOMN的面積是（6-）平方單位．
點評：注意分不同的情況考慮問題；判斷旋轉角，注意特殊角的應用是解題的關鍵．