Question

如圖，A、P、B、C是⊙O上四點，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判斷△ABC的形狀并證明你的結論；
（2）當點P位于什么位置時，四邊形PBOA是菱形？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過證明三角形的內角都是60°來得出結論，思路是通過等弧所對的圓周角相等來得出三角形內的其中兩個內角為60°來證得．
（2）當點P位于中點時，四邊形PBOA是菱形，通過證明△OAP和△OBP均為等邊三角形，知OA=AP=OB=PB，∴四邊形PBOA是菱形．
解答：解：（1）△ABC是等邊三角形．（1分）
證明：∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°，
∴△ABC是等邊三角形．（3分）

（2）當點P位于中點時，四邊形PBOA是菱形．（4分）
連接OP，∵∠AOB=2∠ACB=120°．（5分）
P是的中點，∴∠AOP=∠BOP=60°
又∵OA=OP=OB，
∴△OAP和△OBP均為等邊三角形．（6分）
∴OA=AP=OB=PB，
∴四邊形PBOA是菱形．（7分）
點評：本題考查了圓周角定理，垂徑定理等綜合知識的應用，根據圓周角定理得出等邊三角形是本題解題的關鍵．