Question

已知：如圖，△ABC是邊長3cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動．設點P的運動時間為t（s），設四邊形APQC的面積為y（cm²）
（1）求y與t的關系式；
（2）如果△PBQ是直角三角形，求：四邊形APQC的面積；
（3）是否存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二？如果存在，求出相應的t值；不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）過P作PM⊥BC于M，過A作AD⊥BC于D，根據等邊三角形性質求出求出BD，根據勾股定理求出AD，求出△ABC的面積，根據sin60°=

PM

BP

，求出PM，求出△PBQ的面積，相減即可求出答案；
（2）分為兩種情況：①當∠PQB=90°時，根據cosB=

BQ

PB

，代入求出t；②當∠QPB=90°時，根據cosB=

BP

BQ

，代入求出t，分別把t的值代入（1）求出的函數解析式，即可求出答案；
（3）假設存在，根據題意得出方程

3

4

t²-

3 3

4

t+

9 3

4

=

2

3

×

1

2

×3×

3 3

2

，求出方程的b²-4ac，看看是否大于等于0，即可根據判別式判斷方程是否有解，根據方程解得情況判斷即可．

解答：（1）解：過P作PM⊥BC于M，過A作AD⊥BC于D，
∵三角形ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，BD=CD=

3

2

，
由勾股定理得：AD=

3 3

2

，
∵sin60°=

PM

BP

，
∴

PM

3-t

=

3

2

，
∴PM=

3

2

（3-t），
∴y=S_△ABC-S_△PBQ，
=

1

2

BC×AD-

1

2

BQ×PM，
=

1

2

×3×

3 3

2

-

1

2

×t×

3

2

（3-t），
=

3

4

t²-

3 3

4

t+

9 3

4

，
即y=

3

4

t²-

3 3

4

t+

9 3

4

；

（2）解：分為兩種情況：①如圖，當∠PQB=90°時，cosB=

BQ

PB

，

t

3-t

=

1

2

t=1，
y=

3

4

×1-

3 3

4

×1+

9 3

4

=

7 3

4

；

②如圖，當∠QPB=90°時，cosB=

BP

BQ

，

3-t

t

=

1

2

，
t=2，
y=

3

4

×4-

3 3

4

×2+

9 3

4

=

7 3

4

；
答：四邊形APQC的面積是

7 3

4

；

（3）解：不存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二，
理由是：假設存在t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二，
則

3

4

t²-

3 3

4

t+

9 3

4

=

2

3

×

1

2

×3×

3 3

2

，
t²-3t+3=0，
b²-4ac=（-3）²-4×1×3=-3＜0，
此方程無解，
即不存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二．

點評：本題考查的知識點是三角形的面積、等邊三角形的性質、直角三角形性質、勾股定理、函數的解析式等，主要考查學生綜合運用性質進行計算的能力，注意：要進行分類討論．