Question

3．小明從家去體育場鍛煉，同時，媽媽從體育場以50米/分的速度回家，小明到體育場后發現要下雨，立即返回，追上媽媽后，小明以250米/分的速度回家取傘，立即又以250米/分的速度折回接媽媽，并一同回家．如圖是兩人離家的距離y（米）與小明出發的時間x（分）之間的函數圖象．
（注：小明和媽媽始終在同一條筆直的公路上行走，圖象上A、C、D三點在一條直線上）
（1）求線段BC的函數表達式；
（2）求點D坐標，并說明點D的實際意義；
（3）當 x的值為10或30時，小明與媽媽相距1 500米．

Answer 1

分析 （1）根據路程=速度×時間結合體育場離家3000米即可得出點C的坐標，根據點B、C的坐標利用待定系數法即可求出線段BC的表達式；
（2）根據點A、C的坐標利用待定系數法即可求出直線AC的表達式，由時間=路程÷速度結合點C的橫坐標即可得出點E的坐標，根據路程=速度×時間即可得出直線ED的表達式，聯立AC、ED的表達式成方程組，解之即可得出點D的坐標，再說出點D的實際意義即可；
（3）根據速度=路程÷時間即可求出小明去體育場的速度，由路程=速度×時間即可求出線段OB的表達式，根據OB、AC、BC的表達式結合小明與媽媽相距1500米即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論．

解答 解：（1）∵45×50=2250（米），3000-2250=750（米），
∴點C的坐標為（45，750）．
設線段BC的函數表達式為y=kx+b（k≠0），
把（30，3000）、（45，750）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{30k+b=3000}\\{45k+b=750}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}k=-150\\ b=7500\end{array}\right.$，
∴線段BC的函數表達式y=-150x+7500（30≤x≤45）．
（2）設直線AC的函數表達式為：y=k₁x+b₁，
把（0，3000）、（45，750）代入y=k₁x+b₁，
$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=3000}\\{45{k}_{1}+{b}_{1}=750}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-50}\\{{b}_{1}=3000}\end{array}\right.$．
∴直線AC的函數表達式為y=-50x+3000．
∵750÷250=3（分鐘），45+3=48，
∴點E的坐標為（48，0）．
∴直線ED的函數表達式y=250（x-48）=250x-12000．
聯立直線AC、ED表達式成方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-50x+3000}\\{y=250x-12000}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=50}\\{y=500}\end{array}\right.$，
∴點D的坐標為（50，500）．
實際意義：小明將在50分鐘時離家500米的地方將傘送到媽媽手里．
（3）∵3000÷30=100（米/分鐘），
∴線段OB的函數表達式為y=100x（0≤x≤30），
由（1）線段BC的表達式為y=-150x+7500，（30≤x≤45）
當小明與媽媽相距1500米時，即-50x+3000-100x=1500或100x-（-50x+3000）=1500或（-150x+7500）-（-50x+3000）=1500，
解得：x=10或x=30，
∴當x為10或30時，小明與媽媽相距1500米．
故答案為：10或30．

點評 本題考查了一次函數的應用以及待定系數法求函數解析式，根據點的坐標利用待定系數法求出函數解析式是解題的關鍵．