Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為1的⊙A的圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，線段BC的端點(diǎn)分別在x軸與y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），且sin∠OCB= ．

（1）若點(diǎn)Q是線段BC上一點(diǎn)，且點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m．
①求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)；（用含m的代數(shù)式表示）
②若點(diǎn)P是⊙A上一動點(diǎn)，求PQ的最小值；
（2）若點(diǎn)A從原點(diǎn)O出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿折線OBC運(yùn)動，到點(diǎn)C運(yùn)動停止，⊙A隨著點(diǎn)A的運(yùn)動而移動．
①點(diǎn)A從O→B的運(yùn)動的過程中，若⊙A與直線BC相切，求t的值；
②在⊙A整個運(yùn)動過程中，當(dāng)⊙A與線段BC有兩個公共點(diǎn)時，直接寫出t滿足的條件．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），tan∠OCB= ，

∴BC=10，OC=8，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

，

解得 ，

∵點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m，

∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為﹣ m+8；

②如圖1，作OQ⊥AB交⊙A于P，則此時PQ最小，

×AB×OQ= ×BO×CO，

解得，OQ=4.8，

∴PQ最小=OQ最小﹣1=3.8；

（2）解：①如圖2，⊙A與直線BC相切于H，

則AH⊥BC，又∠BOC=90°，

∴△BHA∽△BOC，

∴ ，即 ，

解得，BA= ，

則OA=6﹣ = ，

∴t= 時，⊙A與直線BC相切；

②由（2）①得，t= 時，⊙A與直線BC相切，

當(dāng)t=5時，⊙A經(jīng)過點(diǎn)B，

當(dāng)t=7時，⊙A經(jīng)過點(diǎn)B，

當(dāng)t=15時，⊙A經(jīng)過點(diǎn)C，

故 ＜t≤5或7≤t≤15時，⊙A與線段BC有兩個公共點(diǎn)．

【解析】(1)①根據(jù)待定系數(shù)法確定直線BC的解析式，即寫出Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)。②作OQ⊥AB交⊙A于P，則此時PQ最小，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行分析。
（2）①根據(jù)相切得垂直，即可得出△BHA∽△BOC，然后求出AB的長，得OA的長，即可得出時間t；②由點(diǎn)動帶動圖形動，對題意進(jìn)行分析，有兩個交點(diǎn)即分類型討論，由正好一個交點(diǎn)，過渡到正好兩個交點(diǎn)的方式思考。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達(dá)式和直線與圓的三種位置關(guān)系的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；直線與圓有三種位置關(guān)系：無公共點(diǎn)為相離；有兩個公共點(diǎn)為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)才能正確解答此題．