Question

【題目】已知，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線交軸于、兩點(在軸負半軸上)，交軸于點，連接，．

（1）求拋物線的解析式；

（2）為直線上方第一象限內一點，連接、，，延長交軸于點，設點的橫坐標為，點的橫坐標為，求與之間的函數關系式；(不要求寫出自變量的取值范圍)

（3）把線段沿直線翻折，得到線段，為第二象限內一點，連接、，，為線段上一點，于點，射線交線段于點，連接交于，交于點，連接，若，，設直線與拋物線第一象限交點為，求點坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（1，4）

【解析】

（1）根據拋物線解析式可求得點C坐標，再根據，可求得點A坐標，再將點A坐標代入解析式即可求得；

（2）如圖，過點P作PH⊥x軸于H，過點B作BD⊥PR，證明∠PRB=∠PBR，則△PRB為等腰三角形，即可得到RH=HB，再代入各點橫坐標即可求得關系式；

（3）如圖，設，則，所以，則E（﹣1，），

由，且BD為線段AB沿直線BC翻折所得，可知點D（3，4），求得，

由FN⊥BE知，則，可求直線FG的解析式為：，進而求得，因為，代入可求得，則點G坐標為（3，2），所以直線AG的解析式為：，直線BE的解析式為：；再設點K（u，），則，，由，解得，則K（，），直線BK的解析式為：，由點M為直線BK與拋物線的交點，聯立方程即可求得點M（1，4）．

解：（1）由拋物線可知，

點C（0，3），

∴OC=3，

∵，

∴OA=1，

∴A（﹣1，0），

將點A（﹣1，0）代入，

可求得：b=2，

∴拋物線的解析式為：

（2）如圖，過點P作PH⊥x軸于H，過點B作BD⊥PR，

由（1）知拋物線的解析式為：，

∴可求得點B坐標為，（3，0），

∴OC=OB，

∴∠CBO=45°，

∵，

∴∠PBC=∠DBC，

∵∠PBR=∠PBC＋∠CBO=45°＋∠PBC，∠DRB=90°－∠DBR，而∠DBR=∠CBO－∠DBO，

∴∠DRB=90°－∠CBO+∠DBO=45°＋∠DBO，

∴∠PRB=∠PBR，

∴△PRB為等腰三角形，RH=HB，

∵點的橫坐標為，點的橫坐標為

∴，

即；

（3）如圖，

設，則，

∴，

∵，

∴E（﹣1，），

∵，BD為線段AB沿直線BC翻折所得，

∴點D（3，4），

∴，

∵FN⊥BE，

∴，

∴，

∴直線FG的解析式為：，

令，則（3，），

∴

∵∠EHA=45°，

由直線的夾角公式得：，

∴，

∴，

化簡得：，

即，

∵，

∴，

∴G（3，2），

∴直線AG的解析式為：，

∴直線BE的解析式為：，

設點K（u，），，

∴，，

由直線夾角公式得：,

即，，

∴，

化簡得：或，

解得：，，，，

∵，

∴，

∴K（，），

∴直線BK的解析式為：，

∵點M為直線BK與拋物線的交點，

∴聯立，

解得：或（即為點B，舍去），

所以點M（1，4）．