Question

如圖：OA=12，OB=6，點P從點O開始沿OA邊向A勻速移動，點Q從點B開始，開始沿BO邊向點O勻速移動，它們的速度都是每秒1個單位，如果P、Q同時出發，用t（秒）表示移動的時間（0≤t≤6），那么
（1）設△POQ的面積為y，求y與t的函數關系式；
（2）t為何值時，以P、Q、O三點為頂點的三角形與△AOB相似？

Answer 1

分析：（1）根據P、Q的速度，用時間t表示出OQ和OP的長，即可通過三角形的面積公式得出y，t的函數關系式；
（2）分△OPQ∽△OAB和△OPQ∽△OBA兩種情況進行求解，可根據各自得出的對應成比例相等求出t的值．

解答：解：（1）∵OA=12，OB=6，由題意，得：
BQ=1×t=t，OP=1×t=t．
則OQ=6-t．
故y=

1

2

×OP×OQ=

1

2

×t（6-t）=-

1

2

t²+3t（0≤t≤6）；

（2）①若△POQ∽△AOB時，

OQ

OB

=

OP

OA

，即

6-t

6

=

t

12

，
即12-2t=t，
解得：t=4．
②若△POQ∽△BOA時，

OQ

OA

=

OP

OB

，即

6-t

12

=

t

6

，
即6-t=2t，
解得：t=2．
∵0＜t＜6，
∴t=4和t=2均符合題意，
故當t=4或t=2時，△POQ與△AOB相似．

點評：本題主要考查了直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質等知識點．要注意（2）題要根據不同的相似三角形分類進行討論．