Question

如圖1，在直角坐標系中放入一個邊長AB長為6，BC長為10的矩形紙片ABCD，B點與坐標原點O重合．將紙片沿著折痕AE翻折后，點D恰好落在x軸上，記為F．
（1）求折痕AE所在直線與x軸交點的坐標；
（2）求過D，F的直線解析式；
（3）將矩形ABCD水平向右移動m個單位，則點B坐標為（m，0），其中m＞0．如圖2所示，連接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=CB=10，AB=DC=6，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，
由折疊對稱性：AF=AD=10，EF=DE，
在Rt△ABF中，BF===8，
∴CF=2，
設EC=x，則EF=6-x，
在Rt△ECF中，2²+x²=（6-x）²，
解得：x=，
∴E點坐標為：（10，），
∴設AE所在直線解析式為：y=ax+b，
則，
解得：，
∴AE所在直線解析式為：y=-x+6，
當y=0時，x=18，
故折痕AE所在直線與x軸交點的坐標為：（18，0）；

（2）設D，F所在直線解析式為：y=kx+c，
∵BF=8，∴F點坐標為：（8，0），
將D，F點坐標代入解析式得：
，
解得：，
∴過D，F的直線解析式為：y=3x-24；

（3）分三種情況討論：
若AO=AF，
∵AB⊥OF，
∴BO=BF=8，
∴m=8，
若OF=FA，則m+8=10，
解得：m=2，
若AO=OF，在Rt△AOB中，
AO²=OB²+AB²=m²+36，
∴（m+8）²=m²+36，
解得：m=-（m＜0不合題意舍去），
綜上所述，若△OAF是等腰三角形，m的值為m=8或2．
分析：（1）根據四邊形ABCD是矩形以及由折疊對稱性得出AF=AD=10，EF=DE，進而求出BF的長，即可得出E點的坐標，進而得出AE所在直線與x軸交點的坐標；
（2）由（1）中所求可得出F點坐標，進而得出過D，F的直線解析式；
（3）分三種情況討論：若AO=AF，OF=FA，AO=OF，利用勾股定理求出即可．
點評：此題主要考查了一次函數的綜合應用以及翻折變換的性質和勾股定理等知識，一次函數的綜合應用是初中階段的重點題型特別注意利用數形結合以及分類討論思想是這部分考查的重點也是難點同學們應重點掌握．