Question

（2009•深圳）如圖，AB是⊙O的直徑，AB=10，DC切⊙O于點C，AD⊥DC，垂足為D，AD交⊙O于點E．
（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）若sin∠BEC=，求DC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，易證AD∥OC，則∠DAC=∠ACO，則只要證明∠CAO=∠ACO，根據等邊對等角即可證明；
（2）∠BEC=∠BAC，則直角△ABC中即可求得∠ABC，根據三角函數即可求得AB、AC的長，而∠DCA=∠CBA，在直角△ACD中即可利用三角函數求得CD的長．
解答：（1）證明：連接OC，由DC是切線得OC⊥DC；
又AD⊥DC，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO．
又由OA=OC得∠BAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠BAC．
即AC平分∠BAD．

（2）解：方法一：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°
又∵∠BAC=∠BEC，
∴BC=AB•sin∠BAC=AB•sin∠BEC=6．
∴AC=．
又∵∠DAC=∠BAC=∠BEC，且AD⊥DC，
∴CD=AC•sin∠DAC=AC•sin∠BEC=．
方法二：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°．
又∵∠BAC=∠BEC，
∴BC=AB•sin∠BAC=AB•sin∠BEC=6．
∴．
又∵∠DAC=∠BAC，∠D=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
，即，
解得．
點評：本題考查了圓的切線的性質及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．