Question

實數a取什么值時，關于x的方程a（x²+1）=x（a²+1），
（1）有一個實數根？并求出它的根；
（2）有兩個實數根？并求出它的根；
（3）有兩個相等的實數根？并求出它的根．

Answer 1

分析：（1）先把方程化為一般式ax²-（a²+1）x+a=0，當a=0時，原方程為一元一次方程，解得x=0；
（2）當a≠0，△=（a²+1）²-4•a•a=（a²-1）²≥0，方程有兩個實數根，利用求根公式求解；
（3）當a≠0，△=（a²+1）²-4•a•a=0，解得a=±1，然后把a=1和-1代入原方程分別得到兩個一元二次方程，然后利用因式分解法求解．

解答：解：（1）ax²-（a²+1）x+a=0，
當a=0時原方程化為-x=0，解得x=0；
（2）當a≠0，△=（a²+1）²-4•a•a=（a²-1）²≥0，
x=

a2+1±(a2-1)

2a

解得x₁=a，x₂=

1

a

；
（3）當a≠0，△=（a²+1）²-4•a•a=0，
（a²-1）²=0，解得a=±1，
當a=1時，x²-2x+1=0，解得x₁=x₂=1；
當a=-1時，-x²-2x-1=0，解得x₁=x₂=-1．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程的定義．