Question

如圖（1）是某種臺燈的示意圖，燈柱BC固定垂直于桌面，AB是轉軸，可以繞著點B按順時針方向轉動，AB=10cm，BC=20cm，圓錐形燈罩的軸截面△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°，且PQ∥AB．轉動前，點A、B、C在同一直線上．

（1）轉動AB，如圖（2）所示，若燈心A到桌面的距離AM=25cm，求∠ABC的大小；
（2）繼續轉動AB，當光線AP第一次經過點C，求此時燈心A到桌面的距離AM長．（假設桌面足夠大）

Answer 1

（1）120°；（2）

解析試題分析：（1）過點B作BD⊥AM于D，求出BD的長度為5，因為AB=10，所以∠ABD=30°，再加上90°就是∠ABC的度數；
（2）過點B作BD⊥AC于D，由題意可知∠BAC=45°，AB=10cm，BC=20cm，即可求得BD、AD、CD的長，再由BC∥AM證得△ACM∽△CBD，根據相似三角形的性質即可求得結果.
（1）過點B作BD⊥AM于D

∵AM=25cm，
∴AD=5cm，
又∵AB=10cm，∠ADB=90°，
∴∠ABD=30°，
∴∠ABC=90°+30°=120°；
（2）過點B作BD⊥AC于D，

由題意可知∠BAC=45°，AB=10cm，BC=20cm
BD=AD=5，CD= 
∵BC∥AM 
∴△ACM∽△CBD 
∴AM=.
考點：解直角三角形的應用
點評：解直角三角形的應用是中考必考題，一般難度不大，正確作出輔助線構造直角三角形是解題關鍵.