Question

（2010•秀洲區二模）如圖（1）是某種臺燈的示意圖，燈柱BC固定垂直于桌面，AB是轉軸，可以繞著點B轉動，AB=10cm，BC=20cm，圓錐形燈罩的軸截面△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°，且PQ∥AB．轉動前，點A、B、C在同一直線上．
（1）轉動AB，如圖（2）所示，若燈心A到桌面的距離AM=25cm，求∠ABC的大��；
（2）繼續轉動AB，使AB⊥BC，求此時臺燈光線照在桌面上的面積？（假設桌面足夠大）

Answer 1

【答案】分析：（1）過B作BD⊥AM于D，求出BD的長度為5，因為AB=10，所以∠ABD=30°，再加上90°就是∠ABC的度數；
（2）AB⊥BC時，光線照在桌面上的軸截面是等腰直角三角形，斜邊上的高等于BC的長度20，所以光線所照部分圓的半徑為20，代入面積公式求解即可．
解答：解：（1）過點B作BD⊥AM于D，
∵AM=25cm，
∴AD=5cm，
又∵AB=10cm，∠ADB=90°，
∴∠ABD=30°，
∴∠ABC=90°+30°=120°．

（2）∵AB⊥BC，
∴AM=20cm，
設AP，AQ與桌面交于E，F，△AEF為等腰直角三角形，AM為斜邊上的高，
∴ME=MF=20cm，
臺燈照在桌面上的最大面積為π•20²=400πcm²．
點評：本題為等腰三角形與直角三角形相結合的題目，需要用到30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的逆定理和等腰三角形“三線合一”的性質，熟練掌握性質并熟練運用是解題的關鍵．