Question

【題目】如圖，拋物線交軸于點、（在的左側），交軸于點，且，．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點為第四象限拋物線上一點，過點作軸的平行線交于點，設點橫坐標為，線段的長度為，求與的函數關系式．（不要求寫出的取值范圍）

（3）在（2）的條件下，為延長線上一點，且，連接、、，的面積為，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）對于，令，得，從而點，由得到點將、代入，由待定系數法即可拋物線的解析式為；

（2）設由，可得直線的解析式為，由軸，故，由此可得，從而；

（3）過點作的垂線交軸于點，過點作的垂線交于點，過點做，延長交軸于點，連接交于點，過點作．由已知可得、均為等腰直角三角形，從而，，由等式的性質可得，進而，由可得全等三角形的性質，，所以，，所以.由相似三角形的性質可得，由三角形的面積可求得OM的值，在中，由正切的定義可求得t的值，由即可得解.

（1）∵對于,

令，則，

∴，，

∴，

將、代入，

∴，解得，

∴拋物線的解析式為；

（2）∵在拋物線上，設，

∵，，

∴直線的解析式為，

∵軸，

∴點的橫坐標與點橫坐標相同，

∴，

∴，

∴；

（3）過點作的垂線交軸于點，過點作的垂線交于點，過點做，延長交軸于點，連接交于點，過點作．

∵，，

∴、均為等腰直角三角形，

∴，，，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴在中，，

∴，

∴，

∴，

∴