Question

矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，但它們都是有特殊條件的平行四邊形．正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是鄰邊相等的特殊矩形，也是有一個角是直角的特殊菱形．因此，我們可以利用矩形、菱形的性質來研究正方形的有關問題，回答下列問題：
（1）將平行四邊形、矩形、菱形、正方形填入它們的包含關系圖中：

（2）要證明一個四邊形是正方形，可以先證明四邊形是矩形，再證明這個矩形的

 

相等；或者先證明四邊形是菱形，再證明這個菱形有一角是

 

．
（3）如下圖菱形ABCD，某同學根據菱形面積計算公式推導出對角線長為a的正方形面積是S=

1

2

a2，對此結論，你認為是否正確？若正確，請給予證明；若不正確，舉出一個反例來說明．

Answer 1

分析：（1）根據在平行四邊形中，鄰邊相等的是菱形，鄰邊垂直的是矩形，而既是矩形又是菱形的平行四邊形是正方形，可根據此關系來畫圖．
（2）根據正方形的判定方法進行解答即可．即兩種常見的方法：①一組鄰邊相等的矩形是正方形．②一個角是直角的菱形是正方形．
（3）本題的證明方法有多種，可根據正方形的對角線互相垂直平分且相等，將正方形分成兩個直角三角形的面積和來求證，也可通過對角線求出正方形的邊長來求證．

解答：解：（1）如下圖

（2）一組鄰邊、直角．
（3）結論正確；證明：如下圖，
S_{正方形ABCD=}S_△AOB+S_△AOD+S_△COD+S_△BOC=4×

1

2

×

1

2

a×

1

2

a=

1

2

a²．

點評：本題是考查菱形的性質及正方形的判定方法，判定一個四邊形為正方形主要根據正方形的概念，常用方法有兩種：
①先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等；
②先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角．