Question

如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC．設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F
（1）若CE=12，CF=5，求OC的長；
（2）當點O在邊AC上運動到何處且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵OF是∠BCA的外角平分線，
∴∠OCF=∠FCD，
又∵MN∥BC，
∴∠OFC=∠ECD，
∴∠OFC=∠COF，
∴OF=OC，
∴OE=OF；
∵MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F
∴∠ECF=90°，
∵CE=12，CF=5，
∴EF==13，
∵CE是∠ACB的角平分線，
∴∠ACE=∠BCE，
又∵MN∥BC，
∴∠NEC=∠ECB，
∴∠NEC=∠ACE，
∴OE=OC，
∴CO是△ECF上的中線，
∴CO=EF=6.5；

（2）點O是AC的中點且∠ACB=90°，
理由：∵O為AC中點，
∴OA=OC，
∵由（1）知OE=OF，
∴四邊形AECF為平行四邊形；
∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，
∴∠2+∠5=90°，即∠ECF=90°，
∴?AECF為矩形，
又∵AC⊥EF．
∴?AECF是正方形．
∴當點O為AC中點且△ABC是以∠ACB為直角三角形時，四邊形AECF是正方形．
分析：（1）利用角平分線的性質以及平行線的性質得出OE=OF，進而利用勾股定理求出EF的長，即可得出CO的長；
（2）利用平行四邊形及矩形的性質和判定證明四邊形AECF是正方形．
點評：本題考查的是平行線、角平分線、正方形、平行四邊形的性質與判定，涉及面較廣，在解答此類題目時要注意角的運用，一般通過角判定一些三角形，多邊形的形狀，需同學們熟練掌握．