Question

如圖，點D是⊙O直徑CA的延長線上一點，點B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．

1.求證：BD是⊙O的切線；

2.若點E是劣弧BC上一點，弦AE與BC相交于點F，且CF＝9，cos∠BFA＝，求EF的長．

 

Answer 1

【答案】

 

1.證明：聯結BO，

方法一：∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD，

∵AB＝AO，

∴∠ABO＝∠AOB，

又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°，

                                    ∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO，

∴BD是⊙O的切線．

方法二：∵AB＝AO，BO＝AO，∴AB＝AO＝BO，∴△ABO為等邊三角形，

∴∠BAO＝∠ABO＝60°，

∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD，

又∠D＋∠ABD＝∠BAO＝60°，∴∠ABD＝30°，

∴∠OBD＝∠ABD＋∠ABO＝90°，即BD⊥BO，

∴BD是⊙O的切線．

方法三：∵ AB＝AD＝AO，∴點O、B、D在以OD為直徑的⊙A上

∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO，

∴BD是⊙O的切線．

2.解：∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF，∴△ACF∽△BEF，

                             ∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，

在Rt△BFA中，cos∠BFA＝，∴，

                               又∵CF=9，∴EF=6．

【解析】略