Question

【題目】【感知】如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，點D、E分別在邊AC、BC上，且DE∥AB，易證AD＝BE（不需要證明）.

【探究】連結圖①中的AE，點M、N、P分別為DE、AE、AB的中點，順次連結M、N、P，其它條件不變，如圖②，求證：△MNP是等腰直角三角形.

【應用】將圖②中的點D、E分別移動到AC、BC的延長線上，其它條件不變，在連結BD，并取其中點Q，順次連結M、N、P、Q，如圖③，若＝，且DE＝，則四邊形MNPQ的面積為 .

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】試題分析：

(1) 要證明△MNP是等腰直角三角形，就是要證明MN=PN以及∠MNP=90°. 由“感知”環節可知容易證AD=BE，分析題意知MN與PN分別為△AED與△BAE的中位線，故不難證明MN=PN. 通過中位線得到的平行關系，利用同位角和內錯角可將∠MNP轉化為Rt△ACE的兩銳角之和，容易證明∠MNP=90°，進而證明△MNP是等腰直角三角形.

(2) 分析題意可知，四邊形MNPQ的四條邊均為相應三角形的中位線. 據此不難證明四邊形MNPQ是平行四邊形. 根據等腰直角三角形ABC的相關條件可以證明∠NPQ為直角，進而證明四邊形MNPQ是矩形. 根據已知條件不難求得AB的長，再根據等腰直角三角形ABC的相關條件可求得BC和AC的長，進而利用相似三角形可以求得EC和CD的長. 在此基礎上根據中位線定理不難獲得NP和PQ的長，進而求得矩形MNPQ的面積.

試題解析：

(1) 下面解答“探究”環節.

證明：∵DE∥AB，

∴，

∵AC=BC，

∴AD=BE.

∵點M與點N分別為DE與AE的中點，

∴MN∥AD， ，

∴∠MNE=∠CAE.

∵點N與點P分別為AE與AB的中點，

∴NP∥BE， ，

∴∠PNE=∠AEC.

∵AD=BE，

∴MN=PN.

∵∠C=90°，

∴在Rt△ACE中，∠CAE+∠AEC=90°，

∴∠MNP=∠MNE+∠PNE=∠CAE+∠AEC=90°.

∵MN=PN，∠MNP=90°，

∴△MNP是等腰直角三角形.

(2) 下面解答“應用”環節.

本小題應填寫：4. 求解過程如下.

∵點M與點N分別為DE與AE的中點，

∴MN∥AD，

∵點P與點Q分別為AB與BD的中點，

∴PQ∥AD， ，

∴MN∥PQ.

同理，NP∥BE， ，MQ∥BE，

∴NP∥MQ.

∵MN∥PQ，NP∥MQ，

∴四邊形MNPQ為平行四邊形.

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠ABC=∠BAC=45°，

∵NP∥BE，

∴∠APN=∠ABC=45°，

∵PQ∥AD，

∴∠BPQ=∠BAC=45°，

∴∠NPQ=180°-∠APN-∠BPQ=180°-45°-45°=90°，

∴平行四邊形MNPQ為矩形.

∵， ，

∴，

∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，AC=BC，

∴在Rt△ACB中， .

∴AC=BC=3.

∵DE∥AB，

∴△ECD∽△BCA，

∴，

∴， .

∴BE=BC+EC=3+1=4，AD=AC+CD=3+1=4.

∴， ，

∴矩形MNPQ的面積為，即四邊形MNPQ的面積為4.