Question

圖①是一張長與寬不相等的矩形紙片，同學們都知道按圖②所示的折疊方法可以裁剪出一個正方形紙片和一個矩形紙片（如圖③），

（1）實驗：
將這兩張紙片分別按圖④、⑤所示的折疊方法進行：

請你分別在圖④、⑤的最右邊的圖形中用虛線畫出折痕，并順次連接每條折痕的端點，所圍成的四邊形分別是什么四邊形？
（2）當原矩形紙片的AB=4，BC=6時，分別求出（1）中連接折痕各端點所得四邊形的面積，并求出它們的面積比；
（3）當紙片ABCD的長和寬滿足怎樣的數量關系時先后得到的兩個四邊形的面積比等于（2）所得到的兩個四邊形的面積比？
（4）用（2）中所得到的兩張紙片，分別裁剪出那兩個四邊形，用剩下的8張紙片拼出兩個周長不相等的等腰梯形，用圖表示并標明主要數據，分別求出兩梯形的面積．

Answer 1

分析：（1）由題意知：圖④正方形和圖⑤矩形的折痕分別是對邊中點所在的直線，順次連接圖④正方形的四邊中點，所得四邊形的對角線相等且互相垂直平分，因此其形狀是正方形；順次連接圖⑤矩形的四邊中點，所得四邊形的對角線互相垂直平分，因此其形狀是菱形；
（2）已知了原矩形的長和寬，即可求得圖④正方形的邊長和圖⑤矩形的長和寬，進而可求出（1）中連接折痕各端點所得四邊形的對角線的長，它們的面積都是對角線乘積的一半，由此可求得兩個四邊形的面積，進而得到它們的比例關系；
（3）可設出原矩形的長和寬，按照（2）的方法分別表示出（1）中連接折痕各端點所得四邊形的面積，然后根據它們的比例關系即可求出a、b需要滿足的條件；
（4）裁剪掉那兩個四邊形后剩下八個直角三角形，可分成兩類：
①兩條直角邊為2的等腰直角三角形，②直角邊為1和2的直角三角形；
然后動手操作即可拼成兩個周長不等的等腰梯形，進而可求出其周長．

解答：解：（1）圖④所示的是正方形，圖⑤所示的菱形．（2分）

（2）S_菱形=

1

2

S_正方形=

1

2

×4×4=8，S_菱形MNPQ=

1

2

S_矩形=

1

2

×2×4=4
S_正方形：S_菱形=2；（4分）

（3）設AB=a，BC=b，
則S_正方形=

1

2

a2，S_菱形=

1

2

a（b-a）=

1

2

ab-

1

2

a²，
要使S_正方形=2S_菱形，
需

1

2

a2=2(

1

2

ab-

1

2

a2)
∴3a²=2ab；
由∵a不等于0，
∴3a=2b；（7分）

（4）如圖所示，兩等腰梯形面積分別為6或6．
（10分）

點評：本題考查圖形的折疊與拼接，同時考查了直角三角形、特殊四邊形等幾何基本知識，解題時應分別對每一個圖形進行仔細分析，難度適中．