Question

【題目】已知：△ABC是等腰三角形，動點P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解決下列問題：

（1）如圖①，若點P在線段AB上，且AC=1+，PA=，則：

①線段PB= ，PC= ；

②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之間的數量關系為 ；

（2）如圖②，若點P在AB的延長線上，在（1）中所猜想的結論仍然成立，請你利用圖②給出證明過程；

（3）若動點P滿足，求的值．（提示：請利用備用圖進行探求）

Answer 1

【答案】（1）①，2；②；（2）證明見試題解析；（3）或．

【解析】

試題

（1）①由已知條件求出AB的長，再減去PA就可得PB的長；如圖1，連接BQ，先證△APC≌△BQC，可得：BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°，由此可得△PBQ是直角三角形，即可計算出PQ=，從而根據△PCQ是等腰直角三角形可得PC=2；

②由①中的證明可知：AP=BQ，△PBQ是直角三角形，由此即可得到：PB2+BQ2=AP2+PB2=PQ2；

（2）如圖2，連接PB，先證△APC≌△BQC，得到BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°，由此可得△PBQ是直角三角形，從而可得：PB2+BQ2=PB2+AP2=PQ2，即（1）中所猜想結論仍然成立；

（3）如圖3，分點P在點A、B之間和在點A、B的同側兩種情況討論即可；

試題解析：

（1）如圖①：

①∵△ABC是等腰直直角三角形，AC=1+，∠ACB=90°，

∴AB=，

∵PA=，

∴PB=AB-PA=.

∵△ABC和△PCQ均為以點C為直角頂點的等腰直角三角形，

∴AC=BC，PC=CQ，∠ACP=∠BCQ，

∴△APC≌△BQC．

∴BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°．

∴△PBQ為直角三角形．

∴PQ=．

∴PC=PQ=2．

故答案為：，2；

②如圖1，猜想PA2+PB2=PQ2，理由如下：

由①中證明可知：△APC≌△BQC，

∴BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°，

又∵∠CBA=45°，

∴∠CBQ+∠CBA=∠PCQ=90°，

∴BQ2+PB2=PQ2，

∴PA2+PB2=PQ2.

（2）如圖②：連接BQ，

∵△ABC和△PCQ均為以點C為直角頂點的等腰直角三角形，

∴AC=BC，PC=CQ，∠ACP=∠BCQ，

∴△APC≌△BQC．

∴BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°．

又∵∠ABC=45°，

∴∠ABC+∠CBQ=∠ABQ=90°，

∴∠PBQ=90°，

∴在Rt△PBQ中，BQ2+PB2=PQ2，

∴PA2+PB2=PQ2.

（3）如圖③：過點C作CD⊥AB，垂足為D．由△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC可得：AD=BD=CD=AB；設AB=，則AD=BD=CD=，

①當點P位于點A、D之間的點P1處時．

∵，

∴P1A=AB=DC= ，

∴P1D=AD=，

在Rt△CP1D中，由勾股定理得：CP1=，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC= ，

∴；

②當點P位于點A和點B的同側的點P2處時．

∵，

∴P2A=AB=AD=．

∴P2D=P2A+AD=，

在Rt△CP2D中，由勾股定理得：P2C=，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC=，

∴；

綜上所述，的比值為或．