Question

如圖，二次函數y=ax²+bx+c（a＞0）圖象的頂點為D，其圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為﹣1，3．與y軸負半軸交于點C，在下面五個結論中：

①2a﹣b=0；②a+b+c＞0；③c=﹣3a；④只有當a=時，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB為等腰三角形的a值可以有四個．

其中正確的結論是　　．（只填序號）

Answer 1

③④

解：①∵圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為﹣1，3，

∴AB=4，

∴對稱軸x=﹣=1，

即2a+b=0．

故①錯誤；

②根據圖示知，當x=1時，y＜0，即a+b+c＜0．

故②錯誤；

③∵A點坐標為（﹣1，0），

∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a，

∴a+2a+c=0，即c=﹣3a．

故③正確；

④當a=，則b=﹣1，c=﹣，對稱軸x=1與x軸的交點為E，如圖，

∴拋物線的解析式為y=x²﹣x﹣，

把x=1代入得y=﹣1﹣=﹣2，

∴D點坐標為（1，﹣2），

∴AE=2，BE=2，DE=2，

∴△ADE和△BDE都為等腰直角三角形，

∴△ADB為等腰直角三角形．

故④正確；

⑤要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，

當AB=BC=4時，

∵AO=1，△BOC為直角三角形，

又∵OC的長即為|c|，

∴c²=16﹣9=7，

∵由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，

∴c=﹣，

與2a+b=0、a﹣b+c=0聯立組成解方程組，解得a=；

同理當AB=AC=4時

∵AO=1，△AOC為直角三角形，

又∵OC的長即為|c|，

∴c²=16﹣1=15，

∵由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，

∴c=﹣

與2a+b=0、a﹣b+c=0聯立組成解方程組，解得a=；

同理當AC=BC時

在△AOC中，AC²=1+c²，

在△BOC中BC²=c²+9，

∵AC=BC，

∴1+c²=c²+9，此方程無解．

經解方程組可知只有兩個a值滿足條件．

故⑤錯誤．

綜上所述，正確的結論是③④．

故答案是：③④．