Question

如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點O作OD⊥AC于D．下列四個結論：
①∠BOC=90°+∠A；②以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切；③設OD=m，AE+AF=n，則S_△AEF=mn； ④EF是△ABC的中位線．
其中正確的結論是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據角平分線的定義得∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，根據三角形內角和定理得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，則2∠1+2∠2+∠A=180°，∠1+∠2=90°-∠A，而∠1+∠2+∠BOC=180°，則180°-∠BOC=90°-∠A，可得到∠BOC=90°∠A；由EF∥BC得到∠1=∠3，∠2=∠4，易得∠EBO=∠3，∠4=∠FCO，則EB=EO，FC=FO，即BE+FC=EF，根據兩圓的位置關系的判定方法得到以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切；連OA，過O作OG⊥AE于G，根據內心的性質得OA平分∠BAC，由角平分線定理得到OG=OD=m，然后利用三角形的面積公式易得S_△AEF=S_△OAE+S_△OAF=AE•m+AF•m=（AE+AF）•m=mn；若EF是△ABC的中位線，則EB=AE，FC=AF，而EB=EO，FC=FO，則AE=EO，AF=FO，即有AE+AF=EO+FO=EF，這不符合三角形三邊的關系．
解答：解：如圖
∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
而∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠1+2∠2+∠A=180°，
∴∠1+∠2=90°-∠A，
又∵∠1+∠2+∠BOC=180°，
∴180°-∠BOC=90°-∠A，
∴∠BOC=90°∠A，所以①正確；
∵EF∥BC，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
而∠1=∠EBO，∠2=∠FCO，
∴∠EBO=∠3，∠4=∠FCO，
∴EB=EO，FC=FO，
∴BE+FC=EF，
∴以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切，所以②正確；
連OA，過O作OG⊥AE于G，如圖，
∵點O為△ABC的內心，
∴OA平分∠BAC，
∴OG=OD=m，
∴S_△AEF=S_△OAE+S_△OAF=AE•m+AF•m=（AE+AF）•m=mn，所以③不正確；
∵EB=EO，FC=FO，
若EF是△ABC的中位線，則EB=AE，FC=AF，
∴AE=EO，AF=FO，
∴AE+AF=EO+FO=EF，這不符合三角形三邊的關系，所以④不正確．
故答案為①②．
點評：本題考查了兩圓的位置關系：設兩圓半徑分別為R、r，兩圓圓心距為d，則d＞R+r?兩圓外離；d=R+r?兩圓外切；R-r＜d＜R+r（R≥r）?兩圓相交；d=R-r（R＞r）?兩圓內切；0≤d＜R-r（R＞r）?兩圓內含．也考查了三角形內角和定理、等腰三角形的判定與性質以及角平分線定理．