Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，F、G分別為邊BC、CD的中點，連接AF，FG，過D作DE∥GF交AF于點E．
（1）證明△AED≌△CGF；
（2）若梯形ABCD為直角梯形，判斷四邊形DEFG是什么特殊四邊形？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得到平行四邊形AFCD，推出∠FAD=∠C，∠DEA=∠FGC，根據AAS即可證出答案；
（2）連接DF，BC=2AD、點F為BC中點，推出AD=BF，證出矩形ABFD，得到∠ADF=∠DFC=90°，根據直角三角形斜邊上的中線的性質推出DE=FG，得到平行四邊形DEFG，證出鄰邊DG=FG，即可推出答案．
解答：（1）證明；∵BC=2AD、點F為BC中點
∴CF=AD，
∵AD∥CF，
∴四邊形AFCD為平行四邊形
∴∠FAD=∠C，AF∥CD，
∴∠FAD=∠C
∵DE∥FG，
∴∠DEA=∠AFG，
∴∠DEA=∠FGC，
∵在△AED和△CGF中
，
∴△AED≌△CGF（AAS）．

（2）菱形．
證明：連接DF，
∵BC=2AD、點F為BC中點，
∴AD=BF，
∵AD∥BF，∠B=90°，
∴四邊形ABFD是矩形，
∴∠ADF=∠DFC=90°，
∵△AED≌△CGF，
∴AE=CG，
∵四邊形AFCD是平行四邊形，
∴CD∥AF，
∵DE∥FG，
∴四邊形DEFG是平行四邊形，
又∵∠DFC=90°，點G為DC中點，
∴FG=DG，
∴平行四邊形DEFG為菱形．
答：四邊形DEFG是菱形．
點評：本題主要考查了梯形，平行四邊形的性質和判定，矩形的性質和判定，直角三角形斜邊上的中線的性質，菱形的判定，全等三角形的判定等知識點，解此題的關鍵是熟練地運用性質進行證明．此題較好，比較典型．