Question

如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點E．連接AC、OC、BC．
（1）求證：∠ACO=∠BCD；
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據垂徑定理和圓的性質，同弧的圓周角相等，又因為△AOC是等腰三角形，即可求證．
（2）根據勾股定理，求出各邊之間的關系，即可確定半徑．
解答：（1）證明：連接OC，
∵AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于E，
∴CE=ED，．（2分）
∴∠BCD=∠BAC．（3分）
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．
∴∠ACO=∠BCD．（5分）

（2）解：設⊙O的半徑為Rcm，則OE=OB-EB=（R-8）cm，
CE=CD=×24=12cm，（6分）
在Rt△CEO中，由勾股定理可得
OC²=OE²+CE²，即R²=（R-8）²+12²（8分）
解得R=13，∴2R=2×13=26cm．
答：⊙O的直徑為26cm．（10分）
點評：本題考查垂弦定理、圓心角、圓周角的應用能力．