Question

如圖正方形ABCD的邊長是a，△AEF是等邊三角形，點E在BC上，點F在CD上
（1）求證：△ABE≌△ADF；
（2）求等邊△AEF的邊長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據正方形可知AB=AD，由等邊三角形可知AE=AF，于是可以證明出△ABE≌△ADF；
（2）再根據全等三角形的性質得到BE=DF，設BE=x，那么DF=x，CE=CF=1-x，那么在Rt△ABE和Rt△ADF利用勾股定理可以列出關于x的方程，解方程即可求出BE，進而求出等邊△AEF的邊長．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等邊三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF；
（2）∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF，
設BE=x，那么DF=x，CE=CF=a-x，
在Rt△ABE中，AE²=AB²+BE²，
在Rt△EFC中，FE²=CF²+CE²，
∴AB²+BE²=CF²+CE²，
∴a²+x²=2（a-x）²，
∴x=2a±a，
∵x＜a，
∴x=2a-a，
∴AE==a．
∴等邊△AEF的邊長為：a．
點評：本題考查了正方形的性質，勾股定理的運用，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質和等腰三角形的性質，解答本題的關鍵是對正方形和三角形的性質的熟練運用，此題難度不大，是一道比較不錯的試題．