Question

如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線，動點D在直線AM上時，以CD為一邊且在CD的下方作等邊△CDE，連接BE．
（1）填空：∠ACB=______度；
（2）當點D在線段AM上（點D不運動到點A）時，試求出的值；
（3）若AB=8，以點C為圓心，以5為半徑作⊙C與直線BE相交于點P、Q兩點，在點D運動的過程中（點D與點A重合除外），試求PQ的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）三角形內角和是180°，等邊三角形的內角都相等，所以，其中一個內角的度數是180°÷3；
（2）求證△ACD≌△BCE，根據全等三角形的性質求出的值；
（3）①當點D在線段AM上（不與點A重合）時，作Rt△CBH，在直角三角形中，利用勾股定理求得；②當點D在線段AM的延長線上時，求證△ACD≌△BCE，然后求值；③當點D在線段MA的延長線上時，求證△ACD≌△BCE后求值．
解答：解：（1）60；（3分）

（2）如圖（2），

∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE
∴∠ACD=∠BCE（5分）
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD=BE，
∴=1（7分）

（3）如圖（3），

①當點D在線段AM上（不與點A重合）時，由（2）可知△ACD≌△BCE，則∠CBE=∠CAD=30°，作CH⊥BE于點H，則PQ=2HQ，連接CQ，則CQ=5．在Rt△CBH中，∠CBH=30°，BC=AB=8，則CH=BC•sin30°=8×=4．
在Rt△CHQ中，由勾股定理得：HQ=，則PQ=2HQ=6．（9分）
②如圖5，當點D在線段AM的延長線上時，
∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CBE=∠CAD=30°，同理可得：PQ=6（11分）
③如圖4，當點D在線段MA的延長線上時，∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ACB=180°
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CBE=∠CAD
∵∠CAM=30°
∴∠CBE=∠CAD=150°
∴∠CBQ=30°
同理可得：PQ=6
綜上，PQ的長是6．（13分）
點評：本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等．