Question

如圖，在△ABC中，M，N分別是AB，AC邊上一點，P是MN上一點，如果BM：AM=AN：CN=MP：NP，求證：S_△PBC=2S_△AMN．

Answer 1

設BM：AM=AN：CN=MP：NP=n，
則AB：AM=n+1，AC：AN=，
MN：NP=n+1，MN：MP=
設S_△AMN=1，∵∠MAC=∠BAC，
∴
故
又∠BMP與∠AMN互補，
∴故，同理可證：
∴
故S_△PBC=2S_△AMN．
分析：利用面積比等于相似比的平方求出三角形AMN的面積、三角形BMP的面積、三角形CNP的面積．再求出三角形PBC的面積．
點評：考查了利用正弦定理計算相似三角形面積的能力．相似三角形面積之比等于相似比的平方．