Question

已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．
（1）如圖1，當(dāng)b=2a，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到邊AD的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)證明∠BMC=90°；
（2）如圖2，當(dāng)b＞2a時(shí)，點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，請(qǐng)給與證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖3，當(dāng)b＜2a時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）證明：∵b=2a，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，∴AB=AM=MD=DC=a，
又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AMB=∠DMC=45°。
∴∠BMC=90°。
（2）解：存在，理由如下：
若∠BMC=90°，則∠AMB=∠DMC=90°。
又∵∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠DMC。
又∵∠A=∠D=90°，∴△ABM∽△DMC。∴。
設(shè)AM=x，則，整理得：x²﹣bx+a²=0。
∵b＞2a，a＞0，b＞0，∴△=b²﹣4a²＞0。
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。
又∵兩根之積等于a²＞0，∴兩根同號(hào)。
又∵兩根之和等于b ＞0，∴兩根為正。符合題意。
∴當(dāng)b＞2a時(shí)，存在∠BMC=90°。
（3）解：不成立．理由如下：
若∠BMC=90°，由（2）可知x²﹣bx+a²=0，
∵b＜2a，a＞0，b＞0，∴△=b²﹣4a²＜0，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。
∴當(dāng)b＜2a時(shí)，不存在∠BMC=90°，即（2）中的結(jié)論不成立。

（1）由b=2a，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四邊形ABCD是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，則可求得∠BMC=90°。
（2）由∠BMC=90°，易證得△ABM∽△DMC，設(shè)AM=x，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即
可得方程：x2-bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可確定方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根均大于零，符合題意。
（3）用反證法，由（2），當(dāng)b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2-bx+a2=0的根的情況，即可求得答案。