Question

（10分）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB = 90°，E是AD的中點，點P是BC邊上的動點（不與點B重合），EP與BD相交于點O.
（1）當P點在BC邊上運動時，求證：△BOP∽△DOE；
（2）設（1）中的相似比為，若AD︰BC = 2︰3. 請探究：當k為下列三種情況時，四邊形ABPE是什么四邊形？
①當= 1時，是          ；
②當= 2時，是             ；
③當= 3時，是                .
請證明= 2時的結論.

Answer 1

（1）證明：∵AD∥BC                               
∴∠OBP = ∠ODE      ……………1分
在△BOP和△DOE中
∠OBP = ∠ODE
∠BOP =" ∠DOE    " …………………2分                     
∴△BOP∽△DOE  (有兩個角對應相等的兩三角形相似)        ……………3分
（2）① 平行四邊形 …………………4分
② 直角梯形  …………………5分
③ 等腰梯形 …………………7分
證明：∵k = 2時，
∴ BP =" 2DE" = AD
又∵AD︰BC = 2︰3        BC = AD
PC =" BC" - BP =AD - AD =AD = ED
ED∥PC , ∴四邊形PCDE是平行四邊形
∵∠DCB = 90°
∴四邊形PCDE是矩形            …………………8分
∴ ∠EPB =" 90°                  " …………………9分
又∵ 在直角梯形ABCD中
AD∥BC,  AB與DC不平行
∴ AE∥BP,  AB與EP不平行
四邊形ABPE是直角梯形     ………………………10分
（本題其它證法參照此標準給分）解析:
略