Question

【題目】如圖①，直線與軸負半軸、軸正半軸分別交于兩點，的長度分別為和，且滿足.

（1）是________三角形.

（2）如圖②，正比例函數的圖象與直線交于點，過兩點分別作于，于，若，，求的長.

（3）如圖③，為上一動點，以為斜邊作等腰直角，為的中點，連，試問：線段是否存在某種確定的數量關系和位置關系？寫出你的結論并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）等腰直角；（2）6；（3）PO=PD且PO⊥PD.理由見解析.

【解析】

（1）已知a2-2ab+b2=0，化簡可得a=b，然后可得△AOB為等腰直角三角形；
（2）證明△MAO≌△NOB，得出AM=ON，然后求出MN的值；
（3）根據已知E為中點，聯想到延長DP到點C，使DP=PC，再連接OD、OC、BC，先證明△DEP≌△CBP得到邊角的等量關系，再證明△OAD≌△OBC，最后可得出△DOC為等腰直角三角形，從而得出結論．

解：（1）∵a2-2ab+b2=0，∴（a-b）2=0，
∴a=b，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB為等腰直角三角形.

故答案為：等腰直角；
（2）∵∠MOA+∠MAO=90°，∠MOA+∠MOB=90°，
∴∠MAO=∠MOB，
∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
在△MAO和△BON中，

，
∴△MAO≌△NOB（AAS），
∴AM=ON，
∴MN=ON-OM=AM-OM=6；
（3）PO=PD且PO⊥PD.理由如下：
如圖，延長DP到點C，使DP=PC，連接OD、OC、BC，

在△DEP和△CBP，

，
∴△DEP≌△CBP（SAS），
∴CB=DE=DA，∠DEP=∠CBP=135°，
則∠CBO=∠CBP-∠ABO=135°-45°=90°，
又∵∠BAO=45°，∠DAE=45°，
∴∠DAO=90°，
在△OAD和△OBC，

，
∴△OAD≌△OBC(SAS)，
∴OD=OC，∠AOD=∠COB，

∴∠COD=∠AOB=90°，
∴△DOC為等腰直角三角形，
∴PO=PD，且PO⊥PD．