【題目】如圖1,若△ABC和△ADE為等邊三角形,M,N分別為EB,CD的中點,易證:CD=BE,△AMN是等邊三角形:
(1)當把△ADE繞點A旋轉到圖2的位置時,CD=BE嗎?若相等請證明,若不等于請說明理由;
(2)當把△ADE繞點A旋轉到圖3的位置時,△AMN還是等邊三角形嗎?若是請證明,若不是,請說明理由(可用第一問結論).
【答案】
(1)解:CD=BE.理由如下:
∵△ABC和△ADE為等邊三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD=60°,
∵∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=60°﹣∠EAC,
∠DAC=∠DAE﹣∠EAC=60°﹣∠EAC,
∴∠BAE=∠DAC,
在△ABE和△ACD中,
,
∴△ABE≌△ACD(SAS)
∴CD=BE
(2)解:△AMN是等邊三角形.理由如下:
∵△ABE≌△ACD,
∴∠ABE=∠ACD.
∵M、N分別是BE、CD的中點,∴BM=CN
∵AB=AC,∠ABE=∠ACD,
在△ABM和△ACN中,
,
∴△ABM≌△ACN(SAS).
∴AM=AN,∠MAB=∠NAC.
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°
∴△AMN是等邊三角形
【解析】(1)CD=BE.利用“等邊三角形的三條邊相等、三個內角都是60°”的性質證得△ABE≌△ACD;然后根據全等三角形的對應邊相等即可求得結論CD=BE;(2)△AMN是等邊三角形.首先利用全等三角形“△ABE≌△ACD”的對應角相等、已知條件“M、N分別是BE、CD的中點”、等邊△ABC的性質證得△ABM≌△ACN;然后利用全等三角形的對應邊相等、對應角相等求得AM=AN、∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°,所以有一個角是60°的等腰三角形的正三角形.
【考點精析】本題主要考查了旋轉的性質的相關知識點,需要掌握①旋轉后對應的線段長短不變,旋轉角度大小不變;②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變;③旋轉后物體或圖形不變,只是位置變了才能正確解答此題.
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【題目】如圖是我國漢代數學家趙爽在注解《周脾算經》時給出的“趙爽弦圖”,圖中的四個直角三角形是全等的,如果大正方形ABCD的面積是小正方形EFGH面積的13倍,那么tan∠ADE的值為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列條件中不能判定△ABM≌△CDN的是( )
A. ∠M=∠N B. AM=CN C. AB=CD D. AM∥CN
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【題目】探究題:
(1)如圖1,兩條水平的直線被一條豎直的直線所截,同位角有__________對,內錯角有__________對,同旁內角有__________對;
(2)如圖2,三條水平的直線被一條豎直的直線所截,同位角有__________對,內錯角有__________對,同旁內角有__________對;
(3)根據以上探究的結果,n(n為大于1的整數)條水平直線被一條豎直直線所截,同位角有__________對,內錯角有__________對,同旁內角有__________對.(用含n的式子表示)
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【題目】小明早晨從家里出發勻速步行去上學,小明的媽媽在小明出發后10分鐘,發現小明的數學課本沒帶,于是她帶上課本立即勻速騎車按小明上學的路線追趕小明,結果與小明同時到達學校.已知小明在整個上學途中,他出發后t分鐘時,他所在的位置與家的距離為s千米,且s與t之間的函數關系的圖象如圖中的折線段OA﹣AB所示.
(1)試求折線段OA﹣AB所對應的函數關系式;
(2)請解釋圖中線段AB的實際意義;
(3)請在所給的圖中畫出小明的媽媽在追趕小明的過程中,她所在位置與家的距離s(千米)與小明出發后的時間t(分鐘)之間函數關系的圖象.(友情提醒:請對畫出的圖象用數據作適當的標注)
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【題目】今年“五一”節,小明外出爬山,他從山腳爬到山頂的過程中,中途休息了一段時間.設他從山腳出發后所用的時間為t(分鐘),所走的路程為s(米),s與t之間的函數關系如圖所示,下列說法錯誤的是( )
A.小明中途休息用了20分鐘
B.小明休息前爬山的平均速度為每分鐘70米
C.小明在上述過程中所走的路程為6600米
D.小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
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【題目】如圖,l1表示某公司一種產品一天的銷售收入與銷售量的關系,l2表示該公司這種產品一天的銷售成本與銷售量的關系.
(1)x=1時,銷售收入= 萬元,銷售成本= 萬元,盈利(收入﹣成本)= 萬元;
(2)一天銷售 件時,銷售收入等于銷售成本;
(3)l2對應的函數表達式是 ;
(4)你能寫出利潤與銷售量間的函數表達式嗎?
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【題目】如圖,在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形中,點A、B、C在小正方形的頂點上.
在圖中畫出與
關于直線l成軸對稱的
;
三角形ABC的面積為______;
以AC為邊作與
全等的三角形,則可作出______個三角形與
全等;
在直線l上找一點P,使
的長最短.
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【題目】求一個正數的算術平方根,有些數可以直接求得,如,有些數則不能直接求得,如
,但可以通過計算器求. 還有一種方法可以通過一組數的內在聯系,運用規律求得,請同學們觀察下表:
n | 16 | 0.16 | 0.0016 | 1600 | 160000 | … |
4 | 0.4 | 0.04 | 40 | 400 | … |
(1)若,則
(2)根據你發現的規律,探究下列問題:已知≈1.435,則:
①≈ ;
②≈ ;
(3)根據上述探究過程類比研究一個數的立方根已知≈1.260,則
≈ .
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